Probabilités dans une succession d'épreuves indépendantes

Propriété

Soit  $n$  un entier naturel.
On considère une succession de  $n$  épreuves aléatoires indépendantes, d'univers  ${\mathrm{\Omega }}_1$ ,  ${\mathrm{\Omega }}_2$ , ...,  ${\mathrm{\Omega }}_n$ , de lois de probabilités respectives  $P_1$ , $P_2$ , ..., $P_n$ .
Pour toute issue  $(i_1;i_2;\dots ;i_n)$  de ${\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2\times \cdots \times {\mathrm{\Omega }}_n$ , on a alors :  $P((i_1;i_2;...;i_n))=P_1(i_1)\times P_2(i_2)\times \cdots \times P_n(i_n)$ .
Autrement dit, la probabilité d'une issue  $(i_1;i_2;\dots ;i_n)$  est égale au produit des probabilités de chacune des composantes  $i_1$ ,  $i_2$ , ...,  $i_n$ .

Exemple

Pour réviser le baccalauréat, un professeur souhaite interroger  l'un de ses élèves au tableau.   Il  désigne alors au hasard l'un des 35 élèves de sa classe, parmi lesquels 15 suivent également l'option m athématiques expertes. Il choisit ensuite un exercice au hasard : 10 sont des exercices de géométrie, 20 sont des exercices d'analyse et 10 sont des exercices de probabilités.

• La probabilité que le professeur choisisse un élève suivant l'option m athématiques expertes est donc de  $15/35$  soit  $3/7$ .
  
• La probabilité que l'exercice choisi soit un exercice de probabilités vaut  $10/40$  soit  $1/4$ .
  
• Ces deux épreuves étant indépendante s , la probabilité que soit envoyé au tableau un élève suivant l'option m athématiques e xpertes pour résoudre un exercice de probabilité s vaut   $3/7\times 1/4$  soit  $3/28$ .
  

Remarque

Si l'on représente une succession d'épreuves indépendantes sous la forme d'un arbre pondéré , on place toujours le même sous-arbre à chaque nœud d'un étage fixé. De plus, cet arbre peut être construit « dans un sens comme dans l'autre ».

Exemple

Soit  $n$  un entier naturel. On considère l'expérience aléatoire correspondant aux  $n$ lancers d'un dé équilibre à six faces, numérotées de 1 à 6.
La probabilité de ne jamais obtenir le résultat  6 sur ces  $n$  lancers vaut  $(5/6{)}^n$ . En passant au complémentaire, la probabilité d'obtenir au moins une fois le résultat 6 sur ces  $n$  lancers vaut  donc  $1-(5/6{)}^n$ .
Puisque l'on a  $-1<5/6<1$ , on obtient : $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(5/6{)}^n=0$ .
Autrement dit, lorsque le nombre de lancers est grand, la probabilité d'obtenir au moins une fois le résultat 6 sur l'un des lancers est très proche de 1.

Il est alors possible de déterminer à partir de combien de lancers cette probabilité dépasse un certain seuil en utilisant par exemple un algorithme ou en faisant appel à la fonction logarithme népérien.